Wintersemester 2017/18

(Pro-)Seminar zur Geometrie: Gitterpolygone

Blockseminar
Im Seminarraum der Arnimallee 2, in der Woche 26.2.2018 --- 27.2.2018 + Einfuehrungsvortrag am 1.11.2017
Florian Kohl

Um einen Eindruck von den Themen zu bekommen, mit denen wir uns beschäftigen werden, hier ein paar Knobelaufgaben.
Zeichnen Sie auf Karopapier ein konvexes Polygon mit allen Ecken an Karokreuzungspunkten. Ungefähr so:

Dabei bedeutet "konvex", dass man das Polygon entlanglaufen kann ohne links abzubiegen. Die beiden folgenden Bilder sind demnach verboten.

kein Kreuzungspunkt		nicht konvex

Für ein solches Polygon merken wir uns die Anzahl b der Karopapierkreuzungspunkte auf dem Rand, die Anzahl i der Karopapierkreuzungspunkte im Inneren sowie die eingeschlossene Fläche a, gemessen in Karopapierquadraten. Unser erstes Beispiel hatte (b,i,a)=(6,5,7).

Spielen Sie mit diesen Figuren und finden Sie heraus, welche Tripel (b,i,a) Sie konstruieren können. Wenn ich also sage (3,0,1/2), zeichnen Sie das linke Bild,

                 

und wenn ich sage (9,1,4.5), zeichnen Sie das rechte Bild. Wie steht es mit (5,2,4)? (18,0,9)? (3,17,17.5)? (11,2,6.5)?

Spielregeln

• Sie halten einen ca. 60-minütigen Vortrag an den sich eine fachliche und didaktische Diskussion anschließen soll. Das Thema des Vortrags haben Sie sich -- selbstverständlich mit Hilfestellung -- weitgehend eigenständig erarbeitet.
• Sie schicken mir spätestens 4 Wochen vor Ihrem Vortrag (harte Deadline!) eine schriftliche Ausarbeitung (etwa 4 Seiten). Diese enthält die Struktur des Vortrags -- wann welche Definitionen, Beispiele, Resultate -- sowie Beweisideen.
• Anhand dieser Ausarbeitung besprechen wir gemeinsam Ihr Thema etwa 3-4 Wochen vor dem Vortrag. Sie sollten weitgehend die Inhalte verstanden und den Vortrag ausgearbeitet haben.
• Selbstverständlich sind Sie bei den anderen Vorträgen dabei und beteiligen sich bei der Diskussion.

mögliche Themen

- unimodulare Äquivalenz, HNF
unimodulare Matrizen, flächenerhaltend, viele Beispiele,
Vereinigung, Äquivalenz zweier Basen und Containment zweier Gitterbasen [Sch, § § 4.1,4.2,4.3] [HNP, §§ 1.3, 2.1], [HS, §0.3] [M, § 1.3]

- Pick, Ehrhart
Picks Formel für Dreiecke, für Polygone;
Korollar: Ehrhart-Polynom, Reziprozität [AZ, §10.3] [BR, §2.6]

- 12
12 folgt aus Fächersatz
Korollar: Klassifikation reflexiver Polygone [HNP, 5.1.9]

- Kettenbrüche
Approximation reeller Zahlen durch rationale [Sch, §6.1] [W, §§5,6]

- Scottsche Ungleichung
Beispiele (siehe auch Fig. 2.5 in [HNP]), P-in-a-box-Beweis [HS, §2]

- Gitterpunkte in Minkowskisummen
Minkowskisumme, viele Beispiele (auch 3-dimensional) [HNPS]

- Der Satz von Brion,
Gitterpunkt-Transformation von rationalen Kegeln, viele Beispiele in Dimension 2 [§ § 3.2 ,9.3, BR]

Themen, Termine

Datum	Titel, Stichworte	Vortragende(r)
26.2. 10:15 Uhr	unimodulare Äquivalenz, HNF	Natalia
26.2. 14:15 Uhr	Pick, Ehrhart	Sebastian
26.2. 16:15 Uhr	Scottsche Ungleichung	Dominik
27.2. 10:15 Uhr	Gitterpunkte in Minkowskisummen	Caner
27.2. 14:15 Uhr	Ausblick	Florian

Erste Literatur

[DGH]	Dzambic, Gerbig, Haase Fastfood, quadratische Magie und Gitterpunkte pdf
[AZ]	Aigner, Ziegler Proofs from The Book Springer
[HNP]	Haase, Nill, Paffenholz Lattice Polytopes pdf
[dBCvKO]	de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars Computational Geometry: Algorithms and Applications http://www.cs.uu.nl/geobook/introduction.pdf
[Sco]	Scott On convex lattice polygons Bull. Austral. Math. Soc. 15(3), 395--399 (1976)
[HNPS]	Haase, Nill, Paffenholz, Santos Lattice Points in Minkowski Sums Electronic Journal of Combinatorics , 15:#N11, 2008
[HS]	Haase, Schicho Lattice Polygons and the number 2i+7 American Mathematical Monthly February: 151 - 165, 2009
[Sch]	Schrijver Theory of Linear and Integer Programming Wiley
[BR]	Beck, Robins Computing the Continuous Discretely Springer
[JT]	Joswig, Theobald Algorithmische Geometrie Vieweg
[M]	Micciancio CSE 206A: Lattice Algorithms and Applications https://cseweb.ucsd.edu/classes/wi16/cse206A-a/lec4.pdf
[PRV]	Poonen, Rodriguez-Villegas Lattice polygons and the number 12 Amer. Math. Monthly, 107(3):238--250, 2000
[8]	Bogart, Haase, Hering, Lorenz, Nill, Paffenholz, Rote, Santos, Schenck Finitely many smooth d-polytopes with n lattice points arXiv:1010.3887
[W]	Wolfart Skript Diophantische Approximationen http://www.math.uni-frankfurt.de/~wolfart/Lehre/Dioph.pdf