Freie Universität Berlin Algorithmischesche Kommutative Algebra

Institut für Mathematik II Wintersemester 2005/2006 Andreas Paffenholz Christian Haase

1. Aufgabenblatt

10. Mai 2006

Aufgabe 1.

Sei I ein Ideal in einem Ring R, und sei π : R → R/I die natürliche Projektion. Die induzierte Abbildung

π̃ : {Ideale in R/I} → {Ideale in R, die I enthalten}

ist ein Isomorphismus.

Aufgabe 2.

Gibt es ein Ideal I und zwei Termordnungen, so daß ⟨x^{3}, y^{3}, x^{2}y^{2}⟩ respektive ⟨x^{2}y, xy^{2}, x^{4}, y^{4}⟩ die Initialideale sind?

Aufgabe 3.

Bestimme eine universelle Gröbnerbasis und den Gröbnerfächer für das Ideal ⟨xy + xz + z^{2}, xy + zy + z^{2}⟩.

Aufgabe 4.

Schreibe eine Bibliothek mit einer Prozedur, die den Divisionsalgorithmus implementiert.

\underline{Input:} poly f, g1, ..., gn;
\underline{Output:} poly p1, ..., pn, r so daß f = p1 g1 + ... + gn pn + r

und kein Term von r wird von einem Leitterm der gi geteilt.