Freie Universität Berlin Algorithmischesche Kommutative Algebra

Institut für Mathematik II Wintersemester 2005/2006 Andreas Paffenholz Christian Haase

3. Aufgabenblatt

31. Mai 2006

S = 𝕜[X_{1}, …, X_{n}].

Aufgabe 1.

Seien I_{1} = ⟨f_{1}, …, f_{s}⟩, I_{2} = ⟨g_{1}, …, g_{t}⟩ ⊂ S Ideale. Zeige, daß

I_{1} ∩ I_{2} = ⟨tI_{1}, (1 − t)I_{2}⟩ ∩ S := ⟨tf_{1}, …, tf_{s}, (1 − t)g_{1}, …, (1 − t)g_{t}⟩ ∩ S.

Aufgabe 2.

Seien I, J ∈ S zwei Ideale.

(1) I : J^{∞} ist wieder ein Ideal.

(2) I : J^{k} ⊆ I : J^{k+1}.

(3) I : J^{k} = I : J^{k+1} ⟺ I : J^{k} = I : J^{∞} .

Aufgabe 3.

Seien I_{1}, I_{2} ⊂ S, I_{2} = ⟨g_{1}, …, g_{t}⟩ Ideale. Zeige, daß

I_{1} : I_{2} = ⋂_{i=1}^{t} I_{1} : ⟨g_{i}⟩

Schreibe eine Singular Routine, die den Quotienten zweier Ideale berechnet.