Freie Universität Berlin Algorithmischesche Kommutative Algebra

Institut für Mathematik II Wintersemester 2005/2006 Andreas Paffenholz Christian Haase

4. Aufgabenblatt

21. Juni 2006

S = 𝕜[X_{1}, …, X_{n}] , A ∈ ^{d×n}.

Aufgabe 1.

Zu jedem Vorzeichenvektor ε ∈ {+, −}^{n} betrachte den Kegel

σ(ε) := ker(A) ∩ _{ε}^{n}.

Zeige, daß die Circuits gerade die Erzeuger der σ(ε) sind, und daß der Support eines Circuits höchstens d + 1 Elemente hat.

Aufgabe 2.

Für Circuits C_{A}, universelle Gröbnerbasis U_{A} und Graverbasis G_{A} gilt

C_{A} ⊆ U_{A} ⊆ G_{A}.

Finde Beispiele, die zeigen, daß alle Ungleichungen unabhängig voneinander strikt sein können.

Aufgabe 3.

Sei ≺ eine Halbordnung auf [n] = {1, …, n}. Ein (oberes) Ordnungsideal ist eine nach oben abgeschlossene Teilmenge I ⊆ [n]:

i ≻ j ∈ I ⇒ i ∈ I.

Für A = {𝟙_{I} : I Ordnungsideal } × {1} beschreibe C_{A}, U_{A} und G_{A}. Es gibt eine quadratische Gröbnerbasis.

Aufgabe 4.

Schreibe eine Singular Routine, die eine reduzierte Gröbnerbasis von I_{A} berechnet.