Freie Universität Berlin Algorithmischesche Kommutative Algebra

Institut für Mathematik II Wintersemester 2005/2006 Andreas Paffenholz Christian Haase

5. Aufgabenblatt

28. Juni 2006

S = 𝕜[X_{1}, …, X_{n}] , A ∈ ^{d×n}.

Aufgabe 1.

Falls x^{u^{+}} − x^{u^{−}} zur reduzierten Gröbnerbasis der Lawrence Hochhebung I_{Λ(A)} gehört, zeige, daß dim(conv[π^{−1}(π(u^{+}))]) = 1.

Aufgabe 2.

Für universelle Gröbnerbasis U_{A} und Graverbasis G_{A} gilt U_{A} ⊆ G_{A}. Finde Beispiele, die zeigen, daß das Verhältnis |G_{A}|/|U_{A}| unbeschränkt ist.

Aufgabe 3.

Sei D(A) := max(| det(a_{i_{1}}, …, a_{i_{d}})| : 1 ≤ i_{1} < … < i_{d} ≤ n). Zeige, daß der Grad max(|u^{+}|, |u^{−}|) eines Binoms x^{u^{+}} − x^{u^{−}} in der Graverbasis durch (d + 1)(n − d)D(A) beschränkt ist.

Aufgabe 4.

Betrachte A = [1 2 3 …n]. Beschreibe, welche Binome x^{u} − x^{v} in I_{A} liegen, und welche in G_{A}.

Bestimme G_{A} für n = 5.