Vorlesung Kombinatorische Kommutative Algebra

Termine

VL Do 12-16, UE Fr 12:00-13:30 jeweils im A3.210
Fr 8.6. UE 10-12 wegen BMS VL!!

Sprechstunden

• Christian Haase: Di 13-15 und nach Vereinbarung
• Benjamin Nill: nach Vereinbarung

Inhalt

In den letzten zehn Jahren gab es eine Reihe spannender Entwicklungen an der Überschneidung von kommutativer Algebra und Kombinatorik. Durch den Einfluss äußerst verschiedenartiger Disziplinen - wie zum Beispiel Polyedergeometrie, theoretische Physik, Darstellungstheorie, homologische Algebra, symplektische Geometrie, Graphentheorie, ganzzahlige Optimierung, Computeralgebra und Statistik - wurden neue Methoden entwickelt. Ziel dieser Vorlesung ist es, eine Einführung in einige dieser algebraischen Methoden für kombinatorisch definierte Ideale zu geben und Anwendungen in der Kombinatorik zu skizzieren.

Teil I: Monomideale
Simplizialkomplexe, 3-d Treppen, zelluläre Auflösungen, Alexander-Dualität.

19.4.	Simplizialkomplexe <-> Stanley Reisner Ideale; Hilbertreihen von Stanley Reisner Ringen
26.4.	Crashkurs simpliziale Homologie; Auflösungen und Betti-Zahlen von Stanley Reisner Ringen
3.5.	Monomideale in zwei und drei Variablen
10.5.	Mehr Orthogonale Flaechen, Zelluläre Auflösungen
18.5.	Zelluläre Auflösungen
24.5.	Zelluläre Auflösungen
31.5.	Alexander Dualität
7.6.	Alexander Dualität für Auflösungen

Teil II: Torische Algebra
Halbgruppenringe, multigradierte Polynomringe, Syzygien, freie und injektive Auflösungen, dualisierende Komplexe.

14.6.	Halbgruppen und Gitterideale
21.6.	Hilbertbasen
28.6.	Multigradierungen, Syzygien, Bettizahlen, Laurent Monommodule
5.7.	Hüllenauflösungen, Gittermodule, Freie Auflösungen von Gitteridealen
12.7.	Injektive und irreduzible Auflösungen I
19.7.	Injektive und irreduzible Auflösungen II, Dualisierender Komplex

Vergleiche auch (Pre)Doc Programm Integer Points in Polyhedra.

Aufgabenblätter

1. Hausaufgabe	Abgabe 3.5.
2. Hausaufgabe	Abgabe 10.5.
3. Hausaufgabe	Abgabe 18.5.
4. Hausaufgabe	Abgabe 24.5.
5. Hausaufgabe	Abgabe 31.5.
6. Hausaufgabe	Abgabe 7.6.
7. Hausaufgabe	Abgabe 14.6.
8. Hausaufgabe	Abgabe 21.6.
9. Hausaufgabe	Abgabe 28.6.
10. Hausaufgabe	Abgabe 5.7.
11. Hausaufgabe	Abgabe 12.7.

Einen Schein erhält, wer regelmäßig ernsthaft die Hausaufgaben bearbeitet (je 50% der Punkte in beiden Teilen) und eine Rücksprache besteht.

Literatur

Ezra Miller, Bernd Sturmfels: Combinatorial Commutative Algebra, GTM 227, Springer-Verlag, 2005.

Richard Stanley: Combinatorics and Commutative Algebra, Birkhäuser, 1996.
Michael Atiyah, Ian Macdonald: Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, GTM 150, Springer 1995.